MECANIQUE ET QUATERNIONS

EXEMPLE CONCRET POUR LES AMATEURS DE MATLAB

 

Le mouvement dit de 'Lagrange et Poisson'

 

En tant qu'enseignant, je trouve, bien que ce soit un cas d'école, cet exemple excellent pour illustrer de nombreuses techniques :
  1. Le théorème du moment cinétique en axes mobiles
  2. L'usage de l'informatique et surtout de Matlab qui permet de parfaitement simuler à peu de frais le mouvement
  3. La mise en œuvre des quaternions
  4. L'exploitation des quaternions pour reconstituer l'attitude

1°) DEFINITION :

Le mouvement de Lagrange et Poisson est celui d'un solide (S) , mobile autour d'un point fixe O , origine d'un repère inertiel OXYZ ( Z vertical ascendant ), avec les qualités suivantes :
  1. Le solide (S) possède un repère principal Oxyz dans lequel la matrice d'inertie est de révolution autour de l'axe oz.
  2. Le centre d'inertie G appartient à l'axe oz
  3. Les articulations classiques des armatures de Cardan sont sans frottement et de masse nulle ( cas d'école), mécaniquement, elles sont équivalentes à une articulation sphérique parfaite qui maintient O fixe.
  4. Le mouvement a lieu sous le seul effet de la pesanteur orientée en sens contraire de Z.
  5. APPLICATION PRATIQUE: Le mouvement illustre la précession et la nutation d'un "gyro" de verticale balourdé.

  6. Notations : On appelle :

Pour la pesanteur

Pour les inerties

 

W

La rotation axiale initiale autour de z

p, q, r

les composantes de la rotation absolue de S exprimée sur x y z

Constantes pour la suite des calculs

L'articulation en O qui maintient O fixe est sphérique parfaite, Le seul couple actif sur le solide S est celui Co de la pesanteur, porté par l'axe Ou.

2°) EQUATIONS DU MOUVEMENT

  1. Résolution par les quaternions :

Le quaternion Q = ( q0 q1 q2 q3 ) qui sera introduit, est associé à la rotation qui transforme le repère absolu fixe XYZ en celui, mobile xyz lié au solide S. L'usage des quaternions nous libère, à priori de toute définition plus ou moins bien définie des angles. Si des angles deviennent nécessaires, alors dans cet exercice, ce seront typiquement ceux d'Euler y, q, j.

Le théorème du moment cinétique, appliqué au point fixe O, en projection sur les axes satellite, conduit aux équations classiques :

Le couple est alors exprimé en termes de quaternions ( voir le cours ), la matrice de passage est P=(Pij)

La résolution numérique consiste à former un système différentiel du premier ordre, avec une variable vecteur colonne à 7 composantes ( 3 pour la rotation ( p q r ) et 4 pour le quaternion Q = ( q0 q1 q2 q3 ) . Naturellement vous constatez que r(t) est constant et reste égale à W. La rotation axiale se conserve.

Système classique de la forme :

Pour l'initialisation, il faut voir le cours sur les quaternions.

b) Résultats : les graphiques qui suivent illustrent une simulation Matlab.

Figure 1 : Cas classique avec un lancement du "gyro" très particulier :

Figure 2 : Seul changement par rapport à fig1, on donne un peu de vitesse de nutation et donc on assiste à une courbe en festons serrés entre 2 cercles, prouvant que q oscille entre 2 valeurs.

Figure 3 : Par rapport à fig2, on a diminué la rotation propre dans un rapport de 5.

La trajectoire présente alors des points de rebroussement.

Figure 4 : Diminution de la vitesse angulaire et apparition de festons plus "larges" qu'en figure 2

Figure 5 : Comme en figure 3 mais sur un temps plus long.

Figure 6 : Augmentation de la masse et diminution de la rotation propre è Plus grande amplitude des variations de la nutation q.

Figure 7 : L'axe est supposé quasiment vertical au départ q voisin de è On assiste alors à une descente de l'axe et une remontée vers la quasi verticale, ce qui donne en projection sur le plan, une sorte de "cardïoide".

 

Schéma du diagramme fonctionnel sous Matlab/Simulink

 

Ensemble des fichiers récupérables Lagrange.zip

 

 2°) AUTRES EQUATIONS DU MOUVEMENT :

a) MISE EN EQUATIONS CLASSIQUE :

Classiquement, en mécanique générale, avec un paramétrage par les angles classiques d'EULER, on écrit d'autres équations, par le théorème du moment cinétique, appliqué à S, en O fixe, en projection sur les axes uvz, axes qui restent principaux pour S et privilégiés pour le calcul du couple du à la pesanteur.

Le lecteur passionné de mécanique confirmera les calculs qui donnent le système :

 

On retrouve la conservation de la rotation axiale, mais les 2 premières équations ne permettent pas une résolution "à la main". Cependant, un cas particulier intéressant et étonnant est celui de l'existence d'un mouvement où q=90° reste constant, à la seule condition que la précession prenne une valeur bien précise.

b) MISE EN EVIDENCE D'UN COMPORTEMENT GYROSCOPIQUE:

Recherchons la possibilité d'un mouvement stationnaire où q reste constant. De toute évidence la vitesse de précession vérifie l'équation :

L'équation (1) montre la fixité de l'axe en position verticale, ce qui est normal puisque la pesanteur devient inactive.

L'équation (2) donne une autre solution avec la vitesse de précession dy/dt en fonction de q et W.

Le cas intéressant est celui où le solide S est un gyroscope animé d'une grande vitesse angulaire W,.On peut alors montrer que :

Ce cas est illustré par la figure (1) avec les conditions initiales bien choisies. C'est, ce que l'on appelle le PARADOXE GYROSCOPIQUE: A savoir que le solide S est complètement en porte à faux où le poids agit avec un couple maximum et cependant l'axe Oz du solide reste dans le plan horizontal, "sans tomber".

APPLICATION PRATIQUE :

La conséquence de ce résultat, est que pour un "gyro" dit de pointage ( devant mémoriser une direction absolue ), tout décentrage de G par raport au point de suspension O, crée une précession et donc une dérive de l'axe "gyro". C'est un point critique des techniques inertielles. On y remédie en pratique en augmentant au maximum la vitesse angulaire axiale W , ce qui fait diminuer la dérive. 

Guiziou Robert